三角函数概念和诱导公式（不含答案）
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三角函数概念和诱导公式
【考点梳理】
1．任意角和弧度制、三角函数的概念
(1)终边相同的角
所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内，构成的角的集合是
S=
{
β|β=k⋅360°+ α，k∈Z
}
或
S=
{
β|β=2kπ +α，k∈Z
}
．
（2）弧长与扇形面积公式
扇形的弧长公式：
l=|α|⋅r
，扇形的面积公式：
S=1
2lr=1
2|α|⋅r2
．
（3）任意角的三角函数
借助单位圆定义：任意角
α
的终边与单位圆交于点
P(x，y)
时，则
sin α=y
，
cos α=x
，
tan α=y
x(x≠0)
．
借助终边上点的坐标：，若取点
P(x，y)
是角
α
终边上异于顶点的任一点，设点
P
到原点
O
的距离为
r
，
则
sin α=y
r
，
cos α=x
r
，
tan α=y
x(x≠0)
三角函数在各个象限符号记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．同角三角函数的基本关系及诱导公式
(1)平方关系：
sin2α+cos2α=1
．
(2)商数关系：
sin α
cos α=tan α(α≠π
2+kπ )
；
（3）三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
2kπ +α(k∈Z)
π+α
−α
π−α
π
2−α
π
2+α
正弦
sin α
−sin α
−sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
−cos α
cos α
−cos α
sin α
−sin α
正切
tan α
tan α
−tan α
−tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
【方法技巧与总结】
1．利用
sin2α+cos2α=1
可以实现角
α
的正弦、余弦的互化，利用
sin α
cos α=tan α
可以实现角
α
的弦切互化．
2．“
sin α+cos α，sin αcos α，sin α−cos α
”方程思想知一求二．
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【典型题型讲解】
考点一：弧长公式，扇形面积公式
【典例例题】
例1．（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发
现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三
角形 ABC，再分别以点 A、B、C为圆心，线段 AB 长为半径画圆弧，便
得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为 ，则其面积是_
_____．
【方法技巧与总结】
熟记弧长公式：l ＝ | α | r ，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2（弧度制 ）
【变式训练】
1.炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇
形纸叠扇完全展开后，扇形 ABC 的面积 S为 ，若 ，则当该纸叠扇的周长 C最小时，
BD 的长度为___________ .
2.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为 的圆面中剪下扇形
，使剪下扇形 后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为 ，再从扇形 中剪下扇环形
制作扇面，使扇环形 的面积与扇形 的面积比值为 .则一个按上述方法制作的扇环形装饰
品（如图）的面积与圆面积的比值为（ ）
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