排列组合问题的类型及解答策略
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排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题，联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。实践证明，
备考有效的方法是题型与解法归类，识别模式，熟练运用。本文介绍十二类典型排列组合问
题的解答策略，供参考。
一、相邻问题捆绑法
例1 6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）种
A. 720 B. 360 C. 240 D. 120
解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全
排列有 种排法；甲、乙两人之间有 种排法。由分步计数原理可知，共有 =240
种不同排法，选 C。
评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题
时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
二、相离问题插空法
例2要排一张有 6个歌唱节目和 4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得
相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）
解：先将 6个歌唱节目排好，其不同的排法为 种；这 6个歌唱节目的空隙及两端共
7个位置中再排 4个舞蹈节目，有 种排法。由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不
得相邻的排法为 种。
评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们
隔开。此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两
端位置，故称插空法。
三、定序问题缩倍法
例3信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有 3面红旗、2面白旗，
把这 5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）。
解：5面旗全排列有 种挂法，由于 3面红旗与 2面白旗的分别全排列均只能算作一
次的挂法，故共有不同的信号种数是 =10（种）。
评法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。这类问题用缩小
倍数的方法求解比较方便快捷。
四、标号排位问题分步法
例4同室 4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，
则四张贺年卡的分配方式有（ ）
A. 6 种B. 9 种C. 11 种D. 23 种
解：此题可以看成是将数字 1，2，3，4填入标号为 1，2，3，4的四个方格里，每格填
一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将 1填入 2至4号的 3个方格
里有 种填法；第二步把被填入方格的对应数字，填入其它 3个方格，又有 种填法；第
三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有 1种填法。故共有 3×3×1=9 种填法，而
选B。
评注：把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素
按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
五、有序分配问题逐分法
例5有甲、乙、丙三项任务，甲需由 2人承担，乙、丙各需由 1人承担，从 10 人中
选派 4人承担这三项任务，不同的选法共有（ ）种
A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040
解：先从 10 人中选出 2人承担甲项任务，再从剩下 8人中选 1人承担乙项任务，最后
从剩下 7人中选 1人承担丙项任务。根据分步计数原理可知，不同的选法共有 =2520
种，故选 C。
评注：有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步下量分组法求解。
六、多元问题分类法
例6由数字 0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位
数字的共有（ ）
A. 210 个B. 300 个C. 464 个D. 600 个
解：按题意个位数只可能是 0，1，2，3，4共5种情况，符合题意的分别有 ，
个。合并总计，共有 ＋
=300（个），故选 B。
评注：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求，分成互不相容的几类情况分别计算，
最后总计。
另解：先排首位，不用 0，有 种方法；再同时排个位和十位，由于个位数字小于十
位数字，即顺序固定，故有 种方法；最后排剩余三个位置，有 种排法。故共有符合要
求的六位数 =300（个）。
七、交叉问题集合法
例7从6名运动员中选出 4名参加 4×100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第
四棒，共有多少种不同的参赛方法？
解：设全集 U={6 人中任取 4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四
棒的排列}，根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有
=252（种）。
评 注 ： 某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数的公式：
来求解。
八、定位问题优限法
