九年级数学 上册 第一章 特殊平行四边形
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九年级数学 上册 第一章 特殊平行四边形
特殊平行四边形
1. 菱形的性质与判定
1.1 菱形的定义与性质
定义 性质 面积
菱形 有一组邻边相等的平行四边
形叫做菱形
菱形具有平行四边形的一切性质.除此之
外，菱形还具有以下特殊的性质：
① 边：菱形的四条边相等；
② 对角线：菱形的对角线互相垂直；
③ 轴对称性：菱形是轴对称图形，一般
的菱形有两条对称轴，它的对角线所在的
直线就是它的两条对称轴.
（1）菱形的面积=底×
该底边上的高；
（2）菱形的面积=两
条对角线乘积的一
半；
解读
（1）菱形是特殊的平行四边形，对于它的定义，需同时满足两个条件：①是平行四边形；
②有一组邻边相等.菱形的定义既可以看成是它的一条性质，也可以看成是它的一种判定方
法.
（2）若设菱形的两条对角线长分别为 a,b，则菱形的面积可以用两条对角线乘积的一半进行
计算，即 S 菱形= .对于对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半
来进行计算
拓展
（1）菱形对角线的性质：菱形的每一条对角线平分一组
对角.如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC,BD 相交于点 O，则
∠ABD=∠CBD，∠BCA=∠DCA，∠CDB=∠ADB,∠BAC=∠DAC
.
（2）菱形对角线的应用：菱形的两条对角线把菱形分成
四个全等的直角三角形，由勾股定理可知，菱形边长的
平方等于两条对角线的一半的平方和.由于菱形的对角线
互相垂直，所以许多涉及菱形的问题可以借助直角三角形的相关知识来解决.由于菱形的四
条边相等，故常常连接对角线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题.
例1：如图，在菱形 ABCD 中，已知 AB=13cm，BD=24cm, AC,BD 交
于点 O，求菱形 ABCD 的面积.
分析：由于 BD=24cm, 所 以 BO=12cm, 可求出 AO=5cm, 即
AC=10cm, 由于菱形面积等于对角线乘积的一半故可求出菱形面积
为
1.2 菱形的判定
由定义判定 由对角线判定 由边判定
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九年级数学 上册 第一章 特殊平行四边形
菱形的判定 有一组邻边相等的平行四
边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形
是菱形 四边相等的四边形是菱形
解读
（1）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，只有对角线互相垂直平分的四边形才是菱
形.
（2）判定时，一定要注意前提条件是“平行四边形”，还是“四边形”.
拓展
判定菱形的一般步骤
（1）用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明四边形的对角线互相垂直或
直接证明四边形的对角线互相垂直平分.
（2）用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等或直接证明四边
形的四条边相等.
例1：如图，在平行四边形 ABCD 中，E,F 分别为 AB,CD 的中点，BD 是对角线，过点 A作AG//DB 交
CB 的延长线于点 G.
（1）求证：DE//BF;
（2）若∠G=90°，求证：四边形 DEBF 是菱形.
分析：（1）可证明 DF//EB ，DF=EB. （2）由于 AG//DB 则
∠G=∠DBC=90°，因为 DF=CF，所以在 Rt△DBC 中，DF=FB. 从而证
明四边形 DEBF 是菱形.
例2：如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，∠ABC=∠DCB，E,F,G,H
分别为边 AB,BC,CD,DA 的中点，求证：四边形 EFGH 为菱形.
分 析 ： 连 接 AC,BD ， 先 根 据 △ DBC 和 △ ACB 全 等 ， 求 出
AC=DB，
根据三角形中位线可知
从而求出 ,即四边形 EFGH 为菱形.
2. 矩形的性质与判定
2.1 矩形的定义及其性质
定义 性质 面积
矩形 有一个角是直角的平行
四边形叫作矩形
矩形具有平行四边形的所有性质.除此之
外，还具有以下特殊的性质：
① 角：矩形的四个角都是直角.
② 对角线：矩形的对角线相等.
③ 轴对称性：矩形是轴对称图形，一般
的矩形有两条对称轴，分别是两组对边
中点连线所在的直线.
（1）矩形的面积=长×宽；
（2）矩形的面积=被对角线
分成的四个小三角形的面积
之和（四个小三角形的面积
相等）
