初三数学—动点存在性问题（含解析）
动点存在性问题
考情分析：
中考分值 在近五年的中考中，分值均为 14 分，占全卷的 10%左右
考查方式
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。动点问题一般都是以最
后一道压轴题出现的，它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，几乎都是
函数、代数、几何的综合题目，集多个知识点为一体，集多种解题思想（①函数
思想；②方程思想；③数形结合思想；④分类思想；⑤转化思想等）于一
题，综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象
能力以及分析问题和解决问题的能力。以灵活多变而著称，成为近年来中考试题
的热点。
动点问题在具体的题目中，又分为：①动点存在性；②动点面积；③动
点最值三类问题，我们将分别就此三类问题进行讲解。
解题关键：理解题意，动中求静，列出关系式等
一、知识梳理
在中考中，存在性问题一般分为四类：
1. 是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形）；
2. 是否存在四边形（平行四边形、直角梯形和等腰梯形）；
3. 是否存在三角形与已知三角形相似或者全等；
4. 是否存在三角形与已知三角形的面积之间有数量关系。
二、方法归纳
1. 在解决动点存在性问题时，一般先假设其存在，得到方程，如果有解，则存在，反之，
则不存在。而在列方程时，一般要用到特殊三角形以及特殊平行四边形的性质、相似、解直
角三角形等知识点，需要注意的是，列方程时，一定要遵循：用两种不同的方法表示同一
个量，否则，将会得到“1=1”之类的恒等式。
2. 对于是否存在三角形，一般按顶点分为三类情况。
3. 而对于是否存在平行四边形则有两种形式的题目：如果已知三个定点，就有三种情
况，一般利用平移坐标法即可求出答案；如果只有两个定点就应该按与边平行以及与对角
线平行两种情况考虑了。
4. 对于等腰梯形，就应该考虑腰长在下底边上的投影了。
1
5. 对于是否存在三角形与已知三角形相似或者全等，则与是否存在三角形一样，分三
类情况，当然，如果有一个角是一个定角（比如直角），则就分为两类情况。
动点问题精讲例题
（一）是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形）
例1．如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点 P
从点 D出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2两个单位长的速度运动，动点 Q从点 C出发，在线
段CB 上以每秒 1个单位长的速度向点 B运动，点 P，Q分别从点
D，C同时出发，当点 Q运动到点 B时，点 P随之停止运动。设运动
的时间为 t（秒）。当 t为何值时，以 B，P，Q三点为顶点的三角形
是等腰三角形？
【难度分级】A类
〖试题来源〗2005 年河北中考真题。
〖选题意图〗1、使学生掌握存在性问题的一般解题思路；
2、使学生初步体会分类讨论思想在存在性问题中的应用。
〖解题思路〗本题是双动点在线段（射线）上运动的存在性问题，根据等腰三角形的特点
B、P、Q三点均可作为等腰三角形的顶点，所以，以 B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角
形，分三种情况进行讨论：①若 PQ＝BQ、 ②若BP＝BQ、 ③若PB＝PQ
解：由图可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。以 B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，
可以分三种情况：
①若PQ＝BQ。在 Rt△PMQ 中， ，由PQ2＝BQ2 得 ，
解得 t＝ ；
②若BP＝BQ。在 Rt△PMB 中， 。由BP2＝BQ2 得：
即 。
由于Δ＝－704＜0
∴ 无解，∴PB≠BQ
③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得
2
A
BMC
D
P
Q
图2
A
BQC
P D
图1
