函数的奇偶性
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函数的奇偶性
一．奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么
函数 f(x)是偶函数 关于 y
轴 对称
奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那
么函数 f(x)是奇函数 关于原点对称
（1）判断函数奇偶性的常用方法：
①定义法
前提：确定函数定义域，判断定义域是否关于原点对称；
当 时，也可用 来判断。
②图象法
③性质法
奇函数与奇函数 奇函数与偶函数 偶函数与偶函数
和 奇 偶
差 奇 偶
积 偶 奇 偶
商 偶 奇 偶
重要结论：
①若奇函数 在原点处有意义，则 = 0 .
②奇函数在关于原点对称区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反。
（2）应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法：
①求函数值；
②求解析式；
③求函数解析式中参数的值；
❹利用奇偶性画图像和判断单调性。
考点一：奇偶性的判断与简单应用
1．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为（ ）
A.y=x+1
B.y=−x2
C.y=1
x
D.y=x|x|
2．下列说法正确的是( )
A．偶函数的图象一定与 y轴相交 B．奇函数 y＝f(x)在x＝0处有定义，则 f(0)＝0
C．奇函数 y＝f(x)的图象一定过原点 D．图象过原点的奇函数必是单调函数
3．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．
f(x)=2x
B．
f(x)=xsin x
C．
f(x)= 1
x
D．
f(x)=−x|x|
2
4．已知函数
f
(
x
)
=ax2+bx+3a+b
(
a−1≤x≤2a
)
是 R 上的单调增函数且为奇函数，则
f
(
x
)
=ax2+bx+3a+b
(
a−1≤x≤2a
)
的值（ ）
A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为 0 D．可正可负
5．若 f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则 g(x)＝ax3＋bx2＋cx( )
A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数又非偶函数
6. 若函数
f
(
x
)
=ax2+bx+3a+b
(
a−1≤x≤2a
)
是偶函数，则
a
、
b
的值是（ ）
A.
a
=0，
b
=0 B.
a
不能确定，
b
=0 [来源:学C.
a
=0，
b
不能确定 D.
a
=
1
3
，
b
=0
7．若函数 f(x)＝为奇函数，则 a等于( )
A. B. C. D．1
8.若函数 是偶函数，则
f(x)
的递减区间是_____________.
9. 设f(x)＝lg(＋a)是奇函数，且在 x＝0处有意义，则该函数是（ ）
A. (－∞，＋∞)上的减函数 B. (－∞，＋∞)上的增函数
C. (－1，1)上
的
减函数 D. (－1，1)上的增函数
10.设函数 ,则 （ ）
A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
11.已知函数
1
( ) 3 ( )
3
x x
f x
，则对
( )f x
性质描述正确的是（ ）
A.是奇函数，且在 R上是增函数 B.是偶函数，且在 R上是增函数
C.是奇函数，且在 R上是减函数 D.是偶函数，且在 R上是减函数
12．设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
