函数的单调性、奇偶性
1
函数的基本性质
一、函数的单调性
（1）增函数：若对于定义域内的某个区间
D D I
上的任意两个自变量
1
x
、
2
x
，当
1 2
x x
时，都有
1 2
f x f x
，那么就说函数
f x
在区间
D
上是增函数；
（2）减函数：若对于定义域内的某个区间
D D I
上的任意两个自变量
1
x
、
2
x
，当
1 2
x x
时，都有
1 2
f x f x
，那么就说函数
f x
在区间
D
上是减函数.
判断函数单调性的方法：
1.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.
2.图像法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.
3.性质法：
（1）增函数
增函数
增函数，减函数
减函数
减函数，增函数
减函数
增函数，减函数
增函数
减函数；
（2）函数
f x
与函数
f x
的单调性相反；
（3）
0k
时，函数
f x
与
k
f x
的单调性相反（
0f x
）；
0k
时，函数
f x
与
k
f x
的单调性相同（
0f x
）.
4. 导数法：
0f x
在区间 D 上恒成立，则函数
f x
在区间 D 上单调递增；
0f x
在区间 D 上恒
成立，则函数
f x
在区间 D 上单调递减.
5.复合函数法：对于函数
y f g x
，可设内层函数为
u g x
，外层函数为
y f u
，可以利用
复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间 D 上的单调性相同，则函数
y f g x
在 区 间 D 上 单 调 递 增 ； 内 层 函 数 与 外 层 函 数 在 区 间 D 上 的 单 调 性 相 反 ， 则 函 数
y f g x
在区间 D 上单调递减.
考点 1 单调性的判定和证明
1、设 x1,x2 为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：
①[
0))()(( 2121 xfxfxx ）（
； ②
0))()(( 2121 xfxfxx ）（
；
③
0
)()(
21
21
xx
xfxf
； ④
0
)()(
21
21
xx
xfxf
