题型27 5类概率统计大题综合解题技巧（分布列与数字特征、二项分布、超几何及正态分布、统计案例综合、概率与数列、概率与导数综合）（原卷版）
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题型 27 概率统计大题
综合解题技巧
（分布列与数字特征、二项分布、超几何及正态分布、统计案例综合、
概率与数列、概率与导数综合）
技法 01 分布列与数字特征应用及解题技巧
知识迁移
1．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值 xi(i＝1,2，
…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则表
X x1x2…xi…xn
P p1p2…pi…pn
称为离散型随机变量 X的概率分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；② p1＋p2＋…＋pn＝1.
2．离散型随机变量均值
(1)一般地，若离散型随机变量 X的分布列为：
X x1x2…xi…xn
技法 01 分布列与数字特征应用及解题技巧
技法 02 二项分布、超几何及正态分布的应用及解题技巧
技法 03 统计案例综合的应用及解题技巧
技法 04 概率与数列的应用及解题技巧
技法 05 概率与导数的应用及解题技巧
分布列与数字特征是新高考
卷的常考内容，难度中等，
常在大题中考查，需重点复
习.
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P p1p2…pi…pn
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量 X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值
的平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中 a，b为常数，则 Y也是随机变量，且 E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(3)①若X服从两点分布，则 E(X)＝p；
②若X～B(n，p)，则 E(X)＝np.
3．离散型随机变量方差
(1)设离散型随机变量 X的分布列为
X x1x2…xi…xn
P p1p2…pi…pn
则(xi－E(X))2描述了 xi(i＝1,2，…，n)相对于均值 E(X)的偏离程度．而 D(X)＝∑ (xi－E(X))2pi为这些偏离程
度的加权平均，刻画了随机变量 X与其均值 E(X)的平均偏离程度，称 D(X)为随机变量 X的方差，并称其算
术平方根为随机变量 X的标准差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)若X服从两点分布，则 D(X)＝p(1－p)．
(4)若X～B(n，p)，则 D(X)＝np(1－p)．
例1-1．（2025·全国·高三专题练习）某企业有甲、乙两个研发小组，甲组研究新产品成功的概率为 ，乙
组研究新产品成功的概率为 ，现安排甲组研发新产品 ，乙组研发新产品 ，设甲、乙两组的研发相互
独立．
(1)求恰好有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品 研发成功，预计企业可获得利润 120 万元，不成功则会亏损 50 万元；若新产品 研发成功，
企业可获得利润 100 万元，不成功则会亏损 40 万元，求该企业获利 万元的分布列．
