选修1—空间向量知识点及专题训练
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空间向量知识回顾
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，
求值的应用进行总结归纳.
1.直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量：
若A.B 是直线
l
上的任意两点，则
AB
为直线
l
的一个方向向量；与
AB
平行的任意非零
向量也是直线
l
的方向向量.
⑵．平面的法向量：
若向量
n
所在直线垂直于平面
，则称这个向量垂直于平面
，记作
n
，如果
n
，
那么向量
n
叫做平面
的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面
的法向量为
( , , )n x y z
．
③求出平面内两个不共线向量的坐标
1 2 3 1 2 3
( , , ), ( , , )a a a a b b b b
．
④根据法向量定义建立方程组
0
0
n a
n b
.
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面
的法向量.
2. 用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行
设直线
1 2
,l l
的方向向量分别是
a b
、
，则要证明
1
l
∥
2
l
，只需证明
a
∥
b
，即
( )a kb k R
.
即：两直线平行或重合 两直线的方向向量共线.
⑵线面平行
①（法一）设直线
l
的方向向量是
a
，平面
的法向量是
u
，则要证明
l
∥
，只需证
明
a u
，即
0a u
.即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直
线在平面外。
②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的
方向向量是共线向量即可。
