专题16 导数的综合应用（解析版）
专题 16 导数的综合应用
【要点提炼】
1.利用导数研究函数的零点
函数的零点、方程的实根、函数图象与 x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，
解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，
数形结合求解.
2.三次函数的零点分布
三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当 x→∞时，函数值也趋向∞，只要
按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点 x1，x2且x1<x2
的函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：
a的符号 零点个数 充要条件
a＞0
(f(x1)为极大值，
f(x2)为极小值)
一个 f(x1)＜0或f(x2)>0
两个 f(x1)＝0或f(x2)＝0
三个 f(x1)＞0且f(x2)＜0
a＜0
(f(x1)为极小值，
f(x2)为极大值)
一个 f(x1)>0 或f(x2)＜0
两个 f(x1)＝0或f(x2)＝0
三个 f(x1)＜0且f(x2)＞0
3.利用导数解决不等式问题
(1)利用导数证明不等式.
若证明 f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数 F(x)＝f(x)－g(x)，如果能证明 F(x)
在(a，b)上的最大值小于 0，即可证明 f(x)<g(x)，x∈(a，b).
(2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题.
①f(x)>g(x)对一切 x∈I恒成立⇔I是f(x)>g(x)的解集的子集⇔[f(x)－
g(x)]min>0(x∈I).
②∃x∈I， 使 f(x)>g(x)成 立 ⇔I与f(x)>g(x)的 解 集 的 交 集 不 是 空 集 ⇔[f(x)－
g(x)]max>0(x∈I).
③ 对∀x1，x2∈I使得 f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min.
④ 对∀x1∈I，∃x2∈I使得 f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min.
4.(1)判断含 x，ln x，ex的混合式的函数值的符号时，需利用 x0＝eln x0及ex≥x＋
1，ln x≤x－1对函数式放缩，有时可放缩为一个常量，变形为关于 x的一次式
或二次式，再判断符号.
(2)会对复杂函数式或导数式(如含 x，ln x，ex的混合式)变形，如拆分为两个函
数处理，好处是避免由于式子的复杂导致的思路无法开展.
考点
考向一 利用导数研究函数的零点
【典例 1】 (2020·全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)＝ex－a(x＋2).
(1)当a＝1时，讨论 f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求 a的取值范围.
解 (1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－2，x∈R，则 f′(x)＝ex－1.
当x<0 时，f′(x)<0；当 x>0 时，f′(x)>0.
所以 f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增.
(2)f′(x)＝ex－a.
①当a≤0时，f′(x)>0，
所以 f(x)在(－∞，＋∞)单调递增.
故f(x)至多存在一个零点，不合题意.
②当a>0 时，由 f′(x)＝0，可得 x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以 f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln a，＋∞)单调递增.
故当 x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为 f(ln a)＝－a(1＋ln a).
(ⅰ)若0<a≤，则 f(ln a)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)至多存在一个零点，不合题意.
(ⅱ)若a>，则 f(ln a)<0.
由于 f(－2)＝e－2>0，所以 f(x)在(－∞，ln a)存在唯一零点.
由(1)知，当 x>2 时，ex－x－2>0.
所以当 x>4 且x>2ln(2a)时，f(x)＝e·e－a(x＋2)>eln(2a)·－a(x＋2)＝2a>0.
故f(x)在(ln a，＋∞)存在唯一零点.
从而 f(x)在(－∞，＋∞)有两个零点.
综上，a的取值范围是.
探究提高 1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题.
