专题15 导数与函数的单调性、极值、最值问题（解析版）
专题 15 导数与函数的单调性、极值、最值问题
【要点提炼】
1.导数的几何意义
函数 f(x) 在x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线 f(x)在
点P处的切线的斜率 k＝f′(x0)，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
易错提醒 求曲线的切线方程时，要注意是在点 P处的切线还是过点 P的切线，
前者点 P为切点，后者点 P不一定为切点.
2.四个易误导数公式
(1)(sin x)′＝cos x；
(2)(cos x)′＝－sin x；
(3)(ax)′＝axln a(a>0，且 a≠1)；
(4)(logax)′＝(a>0，且 a≠1，x>0).
3.利用导数研究函数的单调性
(1)导数与函数单调性的关系.
①f′(x)>0 是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单
调递增，但 f′(x)≥0.
②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有 f′(x)
＝0时，则 f(x)为常数函数.
(2)利用导数研究函数单调性的方法.
① 若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f′(x)>0
或f′(x)<0.
② 若已知函数的单调性，则转化为不等式 f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成
立问题来求解.
4.利用导数研究函数的极值、最值
(1)若在 x0附近左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，则 f(x0)为函数 f(x)的极大值；若在 x0附
近左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，则 f(x0)为函数 f(x)的极小值.
(2)设函数 y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上必有最大
值和最小值且在极值点或端点处取得.
易错提醒 若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必
要不充分条件.
考向一 导数的几何意义
【典例 1】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线 y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程
为y＝2x＋b，则( )
A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1
C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1
(2)(多选题)下列四条曲线中，直线 y＝2x与其相切的有( )
A.曲线 y＝2ex－2
B.曲线 y＝2sin x
C.曲线 y＝3x＋
D.曲线 y＝x3－x－2
解析 (1)因为 y′＝aex＋ln x＋1，所以 k＝y′|x＝1＝ae＋1，
所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为
y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即 y＝(ae＋1)x－1.
所以即
(2)直线 y＝2x的斜率为 k＝2，
A中，若 f(x)＝2ex－2，则由 f′(x)＝2ex＝2，得 x＝0，f(0)＝0，因为点(0，0)在直
线y＝2x上，所以直线 y＝2x与曲线 y＝2ex－2相切.
B中，若 f(x)＝2sin x，则由 f′(x)＝2cos x＝2，得 x＝2kπ(k∈Z)，f(2kπ)＝0，因为
