专题13 函数的图像与性质（原卷版）
专题 13 函数的图像与性质
【要点提炼】
1.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是
描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.
(3)函数图象的对称性
① 若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)，即 f(x)＝f(2a－x)，则 y＝f(x)的图象关于
直线 x＝a对称；
② 若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝－f(a－x)，即 f(x)＝－f(2a－x)，则 y＝f(x)的图象
关于点(a，0)对称.
2.函数的性质
(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范
步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异
减”的原则.
(2)奇偶性：①若 f(x)是偶函数，则 f(x)＝f(－x).
②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)＝0.
③ 奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对
称的单调区间内有相反的单调性.
(3)周期性：①若 y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，
则y＝f(x)是周期为 2a的周期函数.
②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线 x＝a对称，则 f(x)是周期为 2|a|的周
期函数.
③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线 x＝a对称，则 f(x)是周期为 4|a|的周
期函数.
④若f(x＋a)＝－f(x)，则 y＝f(x)是周期为 2|a|的周期函数.
易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符
号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.
考点
考向一 函数及其表示
【典例 1】 (1)(2020·合肥质检)函数 f(x)＝＋ln(3x－1)的定义域为( )
A. B.
C. D.
(2)(2020·西安模拟)已知函数 f(x)＝若 f(－1)＝3，则不等式 f(x)≤5的解集为(
)
A.[－2，1] B.[－3，3]
C.[－2，2] D.[－2，3]
解析 (1)要使函数 f(x)＝＋ln(3x－1)有意义，则解得＜x≤.
∴f(x)的定义域为.
(2)∵f(x)＝
f(－1)＝3，
∴f(－1)＝a－1＋1＝3，则 a＝，
故f(x)＝
由f(x)≤5，∴当 x＞0时，2x－1≤5，解得 0＜x≤3，
当x≤0时，＋1≤5，－2≤x≤0.
综上，不等式 f(x)≤5的解集为[－2，3].
答案 (1)B (2)D
探究提高 1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，
只需构建不等式(组)求解即可.
