专题05 空间几何体的三视图、表面积和体积（原卷版）
专题 05 空间几何体的三视图、表面积和体积
【要点提炼】
1.空间几何体的两组常用公式
(1)柱体、锥体、台体、球的表面积公式：
① 圆柱的表面积 S＝2πr(r＋l)；
② 圆锥的表面积 S＝πr(r＋l)；
③ 圆台的表面积 S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；
④ 球的表面积 S＝4πR2.
(2)柱体、锥体和球的体积公式：
①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
③V球＝πR3.
2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为 a的正方体的外接球、
内切球、棱切球的半径分别为 a，，a.
考点
考向一 空间几何体的表面积
【典例 1】 (1)如图所示的几何体是从棱长为 2的正方体中截去以正方体的某个
顶点为球心，2为半径的球体后的剩余部分，则该几何体的表面积为( )
A.24－3π B.24－π
C.24＋π D.24＋5π
(2)(多选题)等腰直角三角形的直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，
则所形成的几何体的表面积可以为( )
A.π B.(1＋)π
C.2π D.(2＋)π
解析 (1)由题意知该几何体的表面积 S＝6×22－3××π×22＋×4×π×22＝24
－π.故选 B.
(2)如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为 1，高为 1，母线就是直
角三角形的斜边，长为，所以所形成的几何体的表面积 S＝π×1×＋π×12＝(＋
1)π.如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜
边上的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是 1，所以形成
的几何体的表面积 S′＝2×π××1＝π.综上可知，形成几何体的表面积是(＋1)π
或π.故选 AB.
答案 (1)B (2)AB
探究提高 1.求空间几何体的表面积，首先要掌握几何体的表面积公式，其次
把不规则几何体分割成几个规则的几何体.
2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处
理.
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【拓展练习 1】 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2
的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A.12π B.12π
C.8π D.10π
(2)(2020·衡水金卷)一个圆锥的轴截面是边长为 4的等边三角形，在该圆锥中有
一个内接圆柱(下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上)，则当该圆
柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为( )
A.1 B.2 C.3 D.
解析 (1)因为过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8的正方形，所
以圆柱的高为 2，底面圆的直径为 2.所以 S表面积＝2×π×()2＋2π××2＝12π.
(2)如图，设圆柱底面半径为 r(0＜r＜2)，高为 h，则＝，
即h＝(2－r)，其侧面积为 S＝2πr(2－r)＝2π(－r2＋2r)，根据二次函数性质，当
r＝1时，侧面积取得最大值，此时 h＝.
答案 (1)B (2)D
考向二 空间几何体的体积
【典例 2】 (1)(2020·济南模拟)已知三棱锥 S－ABC 中，∠SAB＝∠ABC＝，SB
＝4，SC＝2，AB＝2，BC＝6，则三棱锥 S－ABC 的体积是( )
