专题12 双曲线（菁讲）
专题
12
双曲线
◆ 知 识 清 单 ◆
1．双曲线的定义．
2．双曲线标准方程．
3．双曲线的性质．
4．等轴双曲线．
5．直线与双曲线的位置关系．
6．弦长公式．
1．双曲线的定义
（1）定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点
的轨迹．
（2）定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
（3）焦点：两个定点
F 1， F 2．
（4）焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|．
2．双曲线标准方程
焦点位置 焦点在 x轴上 焦点在 y轴上
图形
标准方程 －＝1( a >0 ， b >0) －＝1( a >0 ， b >0)
焦点 ( － c ， 0) ， ( c ， 0) (0 ，－ c ) ， (0 ， c )
a，b，c的关
系c2＝a 2
＋ b 2
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知识全归纳
3．双曲线的性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围 x ≥ a
或
x ≤ － a y ≤ － a
或
y ≥ a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中 c＝
a，b，c间的关系 c2＝a 2
＋ b 2
(c>a>0，c>b>0)
4．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是 y ＝ ± x ，离心率为．
5．双曲线的定义
（1）定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点
的轨迹．
（2）定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
6．直线与双曲线的位置关系
设直线 l：y＝kx＋m(m≠0),双曲线 C：－＝1(a>0，b>0),联立方程得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－
a2m2－a2b2＝0，
（1）当 b2－a2k2＝0，即 k＝±时，直线 l与双曲线 C的渐近线平行，直线与双曲线相交于
一点．
（2）当 b2－a2k2≠0，即 k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲
线有 0
个公共点．
45rtttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt4152，7．弦长公式
若斜率为 k(k≠0)的直线与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝．
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